2011年4月1日

海嘯的數學

作者/游森棚

寫稿的下午,傳來可怕的消息,日本發生規模9.0 的強裂地震。9.0 的規模!當下我的頭皮是發麻的。上網一看,好在震央在外海。但是即便如此,陸上的災情也非常嚴重……。

地震在外海,最可怕的就是隨之而來的海嘯。網路上幾個影片令人怵目驚心。其中一個是從盤旋的直昇機上往仙台農田空拍的影片讓我目瞪口呆。無聲的畫面裡,滾滾海嘯摧枯拉朽,吞噬所有經過的陸地。捲起所有東西,向前繼續翻騰。幾百公尺遠的公路上竟還有機車騎士與車輛前進,但海嘯眼看就要逼近,再過幾十秒就要追上車輛。我不忍再看下去,決定關掉影片。

一個小時後,台灣中央氣象局對花蓮、台東和宜蘭發佈了海嘯警報。這三個縣市的中小學當機立斷就放學了。筆者的弟弟工作地點離海邊不遠,我也忙著打電話提醒注意,我看來杞人憂天嗎?一點也不。猶記得2004 年底的南亞印尼大地震,地震引發的海嘯居然跑了一整天,橫跨幾千公里到達非洲,還造成非洲一百多名民眾喪生。海嘯的破壞力為什麼這麼大?幾個簡單的數據和事實,讀者就可以體會一下:海嘯約以每小時500~1000 公里的速度,也就是大概高鐵的2~3倍速度前進。到了岸邊不是一個單獨的浪,而是一面水牆,速度減緩,但是高度更高。試想,一面幾公尺高的水牆以超過汽車的速度向你打來,這真是不得了。

正因為海嘯的破壞力如此驚人,所以研究海嘯成為科學家的挑戰。在海嘯的研究中,數學扮演了重要的角色。用數學來研究自然的模式是固定的:先把想研究的對象用數學語言描述, 得到方程式, 這個過程稱為建模(modeling)。然後發展出數學工具來處理(求解),解出來後,再去解釋這些解在現實問題上的意義。因此第一步就是把水波的行為用方程式來表示。

如何用數學式子來描述水波,就不是個簡單的工作。數學家使用的方程式是淺水波方程式(Shallow water wave equation)。淺水波方程式是如式一的一組複雜的偏微分方程式。

其中, u 、v 分別是水面的水平的兩個分量速度, x 、y 是波的空間坐標, t 是時間,g 是加速度。而b 描述海底地形, h 是波距離海底的高度。

也就是說以數學的觀點來看,要瞭解水波,就是要解上述的微分方程,而且解出來的結果還要滿足特定的初始狀態。這稱為解微分方程的邊界值問題(boundary value problem)。【更詳細的內容,請參閱第496期科學月刊】

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