2010年10月25日

「矩陣」為什麼要相乘?

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

數學史大約已經認定英國數學家凱萊(Arthur Cayley)是開創矩陣理論的人。凱萊本人卻在文章中指出矩陣之觀念由來已久,而且「matrix」這個字是席維斯 (James Sylvester)建議的。正如現在大家所知,矩陣是以矩形排列的一組數,雖說是「矩」陣,但早期的數學家其實僅討論「正方形」矩陣,也就是n × n矩陣或n階方陣,簡稱方陣。

方陣之概念,自從克拉瑪在1750年引入行列式之後,就跟著進入西歐的數學圈了。即使數學家早就認為有必要區分用來計算行列式的那n^2個數以及行列式本身,卻長期沒這麼做。直到席維斯覺得不分開這兩個觀念實在不舒服,他用了matrix表示計算行列式的那n^2個數。matrix 這個字有「母體、基礎」的意思,暢銷的電影《駭客任務》的英文片名就是Matrix。席維斯可能意指matrix是行列式的「母體、基礎」。

凱萊先在1855年研究不變量的論文裡簡略定義了方陣觀念,用它處理不變量的計算。然後在1858年發表了一篇24頁的論文——〈矩陣理論紀要〉(A Memoir on the Theory of Matrices),涵蓋所有初學者該知道的方陣知識,包括方陣的特徵多項式、特徵值及所謂的「漢彌爾頓–凱萊定理」。

「漢彌爾頓–凱萊定理」是說:令px)是方陣A的特徵多項式,則pA)=O,其中O是與A同階的零方陣。這其實是凱萊提出的定理,之所以在文章裡提到漢彌爾頓,是因為他在聽漢彌爾頓的四元數課程時,被啟發了這個想法。但是凱萊在文章中只證明了A是3階方陣的情況,完整的證明是德國數學家弗洛畢伍斯(Ferdinand Frobenius)在二十年後完成的。但是弗洛畢伍斯仍然慷慨地稱此定理為「漢彌爾頓–凱萊定理」。

凱萊曾經指出他研究方陣的動機並非來自於四元數,而是為了簡化「線性變換」︰

的描述和書寫。前面這個看起來很像二元一次聯立方程式的式子,其意義是把平面上的點(x,y)「變換」成另一個點(x’, y’)。令︰

凱萊將上述線性變換簡記成A,我們也說A是線性變換的表達方陣。

「簡記符號」通常有助於概念理解和理論發展,但是未必就是「實用工具」。譬如乘法是連加的簡記符號,3 × 7是七個3的連加,用3 × 7代替3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3顯然是個好主意。但是,如果記不得九九乘法表,則3 × 7只能用3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3來計算,那麼乘法就只是簡記符號,不是實用的計算工具。【更詳細的內容,請參閱第490期科學月刊】

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