2010年9月23日

印度來的奇蹟

作者/游森棚

這個月數學界的焦點會在印度,因為四年一度的國際數學家大會(International Congress of Mathematicians, ICM)今年(2010 年)8 月將在印度舉行。

內行人看門道,外行人看熱鬧。數學的深刻和嚴肅面離一般人太遠,所以大多數人最期待的是四年一次在國際數學家大會頒發,號稱數學界諾貝爾獎的費爾茲獎會落在誰身上。網路上有很多的猜測,我當然也有猜測,但這期雜誌印出來時,應該已經公布名單了,所以猜測就留在心裡了。但談到印度,又談到數學,數學家拉瑪努金(Srinivasa Aiyangar Ramanujan)的故事立刻浮上心頭。這個已故數學家的軼事多采多姿,天分極為不凡,生命軌跡獨一無二,因此這個月的專欄,藉由ICM 在印度舉辦的聯想,我們就來一窺拉瑪努金奇蹟式的數學人生。

拉瑪努金只上過非常短時間的大學(大一因為英文不好,沒拿到獎學金而輟學),可以說沒有受過專業數學訓練。他所有的數學知識,來自於他15歲在圖書館借到的一本數學公式集《純數學摘要》(Synopsis of Pure Mathematics)。這本書上條列了數千個公式與定理,想也知道一本書有數千個公式,一定是不講原因,沒有證明的。但拉瑪努金用自己的方法理解了這本書,而也因為啟蒙書是這樣的風格,拉瑪努金接下來憑著極高的天分,單獨發現了許多定理,寫下來後也都是這樣的風格:一條又一條令人炫目的結果,而且只有結果,沒有理由。

所以,也無怪乎英國數學家哈第(G. H.Hardy)在1913年接到拉瑪努金一封九頁長的信後,目瞪口呆的反應。在那封信上,拉瑪努金寫滿了他發現的「定理」——都只有結果,沒有理由,沒有證明。其中一個是這樣(為了容易說明,此處挑選不需要特別解釋符號的一個):

這種無厘頭的式子寫滿了一頁又一頁,那時候沒有電腦可以模擬,沒有網路可以查,只能手算看對不對。但是這些式子一個比一個複雜,又沒有理由跟證明,莫怪乎哈第起先以為是惡作劇!(也莫怪乎之前拉瑪努金寫給其他兩位數學家,都被退信)。總算是老天有眼,哈第讀了信,不讀則已,讀後大驚失色,信裡面有一些連他都無法想像的正確等式。慧眼識英雄,於是他想辦法在1914年把拉瑪努金接到英國,兩個人密切合作得到了豐富的數學成果。但是很不幸,也許因為英國潮溼陰冷的冬天讓拉瑪努金水土不服,他1916年生病後一直沒好,1919年為了養病回到印度,隔年就過世了。

拉瑪努金對數字的敏感使得他在數論上有許多重要的貢獻。哈第和拉瑪努金合作的重要成果之一是給出了分割數(partition number)pn)的漸近公式。pn)是把n寫成正整數和的方法(順序不計),例如p(4)= 5,因4 = 3 + 1 =2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1;又例p(10)= 42等。看來不怎樣,但讀者如果還記得本刊2009年10月號組合數學的封面故事,應該有印象pn)是多麼不可預測,且pn)的公式有多困難。很難想像p(100)可以等於190569292,而p(1000)可以多到誇張—— p(1000)=24061467864032622473692149727991 。

在1918年哈第和拉瑪努金得到︰
另外一個和pn)有關的是,拉瑪努金發現pn)有一些倍數關係。讀者可以觀察下表,看看能不能猜到:

拉瑪努金說,不管k是多少, p(5k + 4)一定是5 的倍數, p(7k + 5)一定是7 的倍數, p(11k+ 6)一定是11的倍數。附帶一提,讀者也許說,這看起來也沒什麼,看來有規則不是嗎?也許p(13k+1)或 p(13k+2)、p(13k+3)、……、p(13k + 12)、p(13k),反正總有一個一定是13的倍數,不是嗎?錯!上面任何一個都不會一直是13的倍數。那到底有沒有a、b讓p(ak+b)永遠是13的倍數?答案是有的。在1960年才由數學家阿特金(A. O. L. Atkin)找到:不管k是多少, p(17303k + 237)是13 的倍數!【更詳細的內容,請參閱第489期科學月刊】

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