2010年7月30日

猜或不猜

作者/游森棚

數學定理的發現從觀察開始,觀察一個現象、觀察一個連結、觀察一個巧合,一旦有了模式,就可以猜答案。

在講數學歸納法時,多半的老師一定會講一個例子:n條直線最多把平面分成幾塊?試了一下後就發現似乎有規律:0, 1, 2, 3, 4, 5,...條直線最多可以把平面分成1, 2, 4, 7, 11, 16,...塊。 聰明的學生可以觀察到直線所分出的區塊,其相鄰兩項的差距「似乎」是1, 2, 3,4,...,所以下一項應該是16 + 6 = 22 ,即6 條直線最多把平面分成22 塊,這是對的!這是數學之所以迷人的原因之一:在結構中有內在的規律出現。讀者可參考此專欄在2009 年9月的〈披薩與西瓜〉,文中有深入的討論。

但我自己在教學上,接著這個例子之後,一定會講另一個例子:連接圓上n個點所能形成的所有弦,最多會把圓分成幾塊?再度試驗一下, 1, 2, 3, 4, 5,...個點所連成的弦可以把圓分成1, 2, 4, 8, 16,...塊。「很明顯」看來這也是有規律的,都是2 的次方!所以下一項應該是32,是嗎?錯了!圓上6個點所連成的弦只能把圓分成31塊!

這告訴我們有時候不能隨便亂猜,事實上,圓上n個點所連成的弦最多只能把圓分成1/24(n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18^n + 24)塊。

另一個我喜歡的例子和分圓多項式(cyclotomic polynomial)有關。簡單來說,就是把x^n-1因式分解,這是國中就學到的事:
x^2 - 1 =(x - 1)(x + 1),
x^3 - 1 =(x - 1)(x2 + x - 1),
x^4 - 1 =(x - 1)(x + 1)(x2 + 1),
x^5- 1 =(x - 1)(x4+ x3+ x2 + x + 1),
x^6 - 1 =(x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 - x + 1),
觀察到每一個因式中的每一個x^k 的係數都是0, 1, -1 一直作下去,都是如此,比如:x^15 - 1 =(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x^2+x+1)(1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8),有耐心的讀者可以試試,從x-1到x^100-1都一樣,每一個因式中的每一個x^k的係數都是0, 1, -1 ,這麼多的證據(開什麼玩笑,都分解了100 個了!)強烈支持我們猜測x^n - 1的因式分解中,每一項的係數都是0, 1, -1!但是錯了! x^105 - 1 有一個因式是x^48 +...-x^42 -2x^41 -x^40 +...-x^8 -2x^7 -x^6 +...+ 1 ,中間有兩項係數是-2 。所以,在還沒有證明之前,不管有再多的證據,猜想都只是猜想。

但數學家發現定理,常常就是從觀察規律猜出來的。可是這些例子告訴我們,有時可以猜,有時不能猜。到底要猜或不猜?這沒有準的,靠的是不可名狀的感覺。數學家蓋伊(Richard Guy)寫過一篇有趣的文章〈強小數法則〉(Strong Law of Small Numbers),這個標題是開統計學上的一個定理「強大數法則」(Strong Law of Large Numbers)的玩笑。這篇文章舉了很多的例子(上例是其一),說明一開始的一些「證據」,很可能只不過是巧合,不足以支持後來的發展。【更詳細的內容,請參閱第487期科學月刊】

回本期目錄

沒有留言: