2010年6月8日

「行列式」從何而來?

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

基於和上個月同樣的動機——為高中數學課程的幾個線性代數相關課題初步地整理一些歷史背景,期望能夠引起同仁對於這方面資料的關心,以致有更豐富且適合高中課堂使用的歷史相關讀物產生——我在本欄繼續這一系列的報導。

歷史確實有其神祕之處:有時候,某些不凡的靈魂彷彿真的能夠跨越地理的障礙,又好像某些思維在某個時期確實充斥於「空氣」中,許多未能彼此溝通的人同時接受了訊息,而創造出極為類似的成果。上個月指出複數的幾何意義,就是一個例子。歷史學家克洛(Crowe)在《A History of Vector Analysis》一書裡,列出至少6名極可能彼此不曾聯絡也不知道對方思想的人,在十九世紀的最初30年,不約而同地思考這個相同的問題,並提出幾乎一致(但是深度與廣度不一)的見解。這許多條的線索,經過後世的融合、簡化與詮釋,形成今天教科書所呈現的面貌。

在高中課程的範圍內,我們只介紹了2階和3階行列式,又稱為2×2和3×3行列式(讀作二乘二而不是二乘以二),是指分別將四個或九個數映射成一個數的計算規則。若將四個或九個數排列成正方形,則其行列式計算規則如下:



一般而言,若n是正整數,則n階行列式就是將n^2 個數映射成一個數的計算規則;所以某一個數的一階行列式就是那個數本身。以上記號是今日的標準:將n^2 個數排列成正方形,在其左右兩側畫上直線(看起來就是「絕對值」符號)。絕對值記號的「借用」以及把數排列成正方形的寫法, 是英國人凱萊(Cayley)在1841 年提出的。知道這個歷史事件之後,再得知凱萊也是矩陣理論的開路先鋒之一時,就不會太驚訝了;凱萊在1858年發表了第一篇有系統地定義矩陣並探討其代數性質的論文。

雖然前人並沒有把數排列成正方形,也沒有方陣的名字和觀念,其實卻已經考慮了所謂的矩陣乘法。早些時候,行列式有兩個意義:它既指那n^2個數,又是指這n^2個數依規則算出來的那一個數。所以,柯西(Cauchy)在1812年發表的「行列式乘法性質」中,一句乍看沒意義的話:「行列式的乘積相等」,其實就是我們今天所說的|A||B|=|AB|,其中A和B 是階數相等的方陣,而|AB|的計算規則,就是先做A和B的矩陣乘法,再算其行列式。我們甚至可以說,柯西的行列式乘法性質「啟發」了後來矩陣乘法的規則。矩陣的乘法發生在矩陣誕生之前,數學史是不是很有趣?

中文翻譯「行列式」的時候,凱萊的符號已經通行,所以那些數寫成了方陣形式,而橫排的數稱為列,直排的稱為行。西方稱之為determinant,是「決定性因素」的意思。在大勢底定以前,同樣的觀念和算法有過很多不同的名字,我們不必做語源的考據。而determinant 之勝出,高斯(Gauss)那本天才洋溢的《算術研究》(1801)肯定是決定性因素:高斯在書裡用了那個字,並且使用了2 階和3 階情況的「行列式乘法性質」;柯西推廣並證明了n 階的情況。【更詳細的內容,請參閱第486期科學月刊】

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