2010年6月8日

標靶的數學

作者/游森棚

射飛鏢是一個歷史悠久的有趣遊戲,很難相信哪個人沒有玩過。在電影裡的酒吧中,尤其是美國西部牛仔的影片,總是牆上要掛一個飛鏢標靶,周圍的人邊喝啤酒邊起鬨才有氣氛。但射飛鏢不僅是遊戲,它其實也是個認真的運動項目,有詳細的規則以及正式的比賽,比如台灣才剛剛在2010年2月底辦了一場國際賽事。

射飛鏢和撞球一樣,有各式各樣的玩法和遊戲規則,但是基本上,每一鏢得分的算法是固定的。正規的標靶共分成20個扇形,射中每個區域的分數就看圓周上所標的數字,分別為1~20分。但是為了讓比賽刺激,標靶上另有2個窄環及圓心區域,射中這些區域時有加分。射中外圈窄環區域時,該次得分乘以2倍,射中內圈窄環區域時,該次分數乘以3倍;命中紅心得50分,射中紅心外圍的綠色部分得25分。明白規則後也許會很訝異,最高得分的一鏢並不是射中紅心,而是射中20分那個扇形的內部窄環,這樣可以得60分。真正的高手過招, 瞄準的位置都是這個60分的小區域,而不是紅心。

不過,以下我們暫且不管2倍3倍,先觀察20個扇形的分數,從12點鐘方向順時針讀起是20, 1, 18, 4, 13, 6, 10, 15, 2, 17, 3, 19, 7,16, 8, 11, 14, 9, 12, 5。為什麼這樣排?這樣排的道理是什麼?很詭異的是,雖然射飛鏢的歷史已經有100多年了,卻沒有人知道為什麼這20個數要這樣排列。好吧,我們可以換個方式問,以數學的觀點來看,20個扇形的分數該如何設計最合理?

射飛鏢是在比準頭,想像一下:如果按1,2, 3,…, 20的順序繞圈圈排列,只要射到差不多的區域,則分數都差不多,這樣就失去了射飛鏢比準頭的意義。換個講法,如果某射手頗貪心地瞄準20分的扇形,然後卻射到隔壁的扇形,這不止不準,而且很貪心,應該要接受處罰。所以標靶的設計不可以讓20的周圍是19或18分,否則以後朝這個區域亂石打鳥就好了。那麼怎樣的處罰最合理呢?最簡單就是讓20分隔壁的扇形分數很低,比如說1分和2分,所以要讓20個扇形的分數跳動越大越好,這樣才有比賽擲準的意義。

這就變成一個數學問題了:
假設a1, a2, a3,..., a20 是1, 2, 3,..., 20 的一個排列,則我們希望:
D1(a1,..., a20):=︱a1 - a2︱+︱a2 - a3︱+...+︱a19-a20︱+︱a20- a1︱越大越好,用很數學的講法,就是將1~20 作環狀排列,全變差(total variation)的最大值是多少?

1991 年數學家艾澤爾特(Eiselt)和拉波特(Laporte)證明了這個式子的最大值應該是200。要怎麼設計會達到這個最大值,在此先賣個關子。以現行標靶上的數字我們算出:︱20-1︱+︱1-18︱+...+︱5-20︱= 198,所以,以數學的觀點來看,標靶上的分數分配並不是最好的!【更詳細的內容,請參閱第486期科學月刊】

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