2010年4月10日

以對數律為例談數學練習的意義

作者/單維彰(任教中央大學數學系)

上個月,本欄指出數學的學習可分「理論」的學習與「操作」的學習兩個層次,並指出操作練習的目的僅是熟練,所以這一層次的練習題需要基本而大量,不必艱難而繁複,以免日久造成「人工化的難題」。這個話題若要談得具體,必須舉例,而舉例就必須涉及數學內容。所以,上個月我們以對數律為例,推導了還原公式和指數的「乘法律」、「除法律」和「次方律」,並邀請讀者觀察美國暢銷微積分教科書內的操作練習題,看看它們是否滿足本欄作者主張的練習目的?

數學課程中的某些習題,超過了「操作練習」的層次,而與數學理論或典型的應用有關。這些題目的數量可以不必像操作練習那麼多,但是每一題要表明一個數學的概念,讓學生可以透過操作,獲得某種學習數學的意義:也許是一個數學理論的認識,也許是一種解決典型應用問題的方法。如果沒有達到這個層次的教學,則這類題目的大量變化,最後容易流於徒然的繁複操作,學生無法認知操作的意義,也就達不到學習的目標,並且很可能變得緊張無措。

為了要具體談論這個話題,還是很抱歉地需要舉例,好讓我們言之有物並且盡量對讀者有實際的幫助。先看一個比較簡單的「指數方程式」問題,這是很常見的一類題型:
求解4^(x+1)次方-5×2^(x+2)次方+16 = 0
標準方法是觀察原式等於4×(2^x)^2-5×4×2^x+16,然後置換u = 2^x ,得到二次方程式4u^2-20u+16 = 0或化簡為u^2-5u+4 = 0,然後就很容易做了。至此,請讀者想想,如果練習4或6道如此的題型,有何意義?

如果上述題型的目的,僅是將指數形式的方程式改成二次或三次方程式,則這類題型就成為「指數律的操作練習」:練習將2^(x+2)寫成4×2^x,並練習將4^x看成2^2x=(2^x)^2。在這個層次上,其實這個題型很簡單,而且缺乏意義,學生不明白為什麼要學這個技巧?如果老師能夠指出,練習這種題型的意義在於一種形式的「置換」技巧,就能跟過去以及未來的經驗連結,使得這個看似純操作的練習,在整個數學的架構中有了明確的地位。在指數方程式之前,學生曾經用置換的技巧化簡√6-2√5:令a = √5,b = 1,而(a-b)^2 = 6-2√5,故原式等於|√5-1|;他們也曾用置換的技巧分解x^4 -5x^2+4:令y = x^2則原式等於y^2 -5y+4 =(y- 4)(y- 1),所以原式可以分解成:(x^2-4)(x^2-1)=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)。用「置換」這個大觀念連結這些題型,就有了一致性,而且它的確是數學操作中的一個重要觀念與技巧;之後在三角方程式與微積分的課題中,還會再使用置換來解決問題。

利用對數的還原公式和次方律,我們可以推導對數的「換底公式」。這個堪稱「偉大」的公式,是學習對數的核心知識,也是關於對數的最重要觀念之一。它雖然也有操作的層面,但是操作並非換底公式的重點;它的重點是觀念,而此觀念恰好是說(過於化約地說):對數的底並不重要,任何底都一樣好。不論原先用了什麼底,一律可以換成另一個方便的底(通常選10或e≒2.7183 作為底)。【更詳細的內容,請參閱第484期科學月刊】

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