2010年3月8日

對稱與物理

作者/賴昭正(美國芝加哥大學化學博士)

對稱是常在幾何圖形上見到的特徵,其在微觀的粒子層級影響了許多物理現象的存在與否,並且關係到現有宇宙的存在。

愛美是人類的天性。雖然不是所有的美都具備「對稱」的特徵,但重複的部位如果沒有對稱,便很難構成美。愛美既是人類的天性,物理學家當然也不例外,但什麼是物理學家眼中的對稱?既然物理學家也愛美,為什麼2008年諾貝爾物理獎要頒給三位倡導破壞物理學上對稱的物理學家呢?

物理是門在看似雜亂無章的宇宙中尋找次序的科學,所謂次序,指的是「不變的定律」。雖然如此,但物理學家卻是到了二十世紀中,才開始真正注意到這「不變」的意義,並開始以數學家早就發展出來的群論(group theory),來研究及幫助他們尋找物理定律。

我們一般所謂的「左右對稱」(symmetry),是指左邊的圖案,利用中間的鏡子產生的鏡像,完全與右邊的圖案一樣。但所謂物理的對稱,處理的不單純是圖案的對稱。那麼在物理中所謂的「左右對稱」指的是什麼呢?在物理的力學(mechanics)裡,定律均是透過空間坐標(x, y, z)及時間t來表示。放一面鏡子在xy平面,其作用是改變z軸的方向,z軸方向一改,定律中的z值當然改變成-z了,與圖案原理一樣。如果物理定律不因z轉換為-z而變,我們便說此定律「左右對稱」,即定律(x , y, z, t)=定律(x , y, -z, t)。

例如牛頓的第二定律便具有左右對稱的性質:假設F原來是在z軸方向,當坐標z軸改變方向時,原來的力F及加速度a也將同時改變方向,因此我們還是能得到F = ma的定律,只是呈現為-F = m(-a)。從以上的推導,我們可以說牛頓的第二運動定律在作左右變換(transformation)後是「不變」的!所以「不變」及「對稱」在物理學上代表相同的意義。

相信許多讀者已經注意到了,牛頓第二定律不只具有左右對稱性,它在同時反射xyz軸時也是不變的。我們雖然製造不出這樣的「鏡子」——在物理上稱為「鏡像」或「宇稱」(parity ,簡稱P)鏡,但在數學的運算上倒是輕而易舉,只要將定律中的(x, y, z)更改成(-x, -y, -z)即可。事實上不只牛頓第二運動定律具有鏡像對稱,所有已知的力學定律,例如愛因斯坦的相對論、馬克士威的電磁方程式及量子力學等,均具有鏡像對稱,所以說物理學家也是愛美的,而且比一般人愛得更厲害,因為他們的鏡子可以同時反射三個方向。

力學定律中的對稱

除了具有鏡像對稱外,力學定律還具有其他對稱性嗎〔註〕?當然有,例如將三軸以原點為中心旋轉、坐標位移及時間位移等。因後面兩種對稱既易懂又有趣,因此就來談談它們吧。坐標(平行)位移事實上等於是移動原點(origin),例如本來是以台北為中心的坐標體系,我們可以將它移到以北京為中心的體系,當然,在台北跟北京做出來的實驗結果,雖然其(x, y, z)值會因坐標體不同而異,但所得之物理定律應是不變的。

同樣地,我們也可以將時間位移到明天,物理實驗所得的結果應與今日所得的相同,所以力學定律也應具有時間位移的對稱性。可是未來與過去這「時間的鏡像」呢?力學定律還是具有稱為時間(time,簡稱為T)的鏡像對稱。您可能會懷疑,過去與未來怎麼會是對稱的?可是如果有人將兩球相撞拍攝成影片,然後倒著放映,我們確實看不出來那是「倒映」的(圖一A)。牛頓力學的確是具有T之對稱性,同樣地,馬克士威及量子力學方程式也是具有過去與未來的對稱性,解過電磁波方程式的讀者大概還記得它有兩個解:一為向外擴散的波,一為向內收斂的波。後者因與「現實」不符,所以我們不採用。【更詳細的內容,請參閱第483期科學月刊】

註:筆者一直強調力學是因為:(一)我們只要知道所有的力學定律及現狀,我們原則上就可預測未來及過去;(二)物理學中還有一門熱力學,它是有「方向性」的。

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