2010年3月10日

范德蒙行列式

作者/游森棚(任教高雄大學應用數學系)

高中的每一本課本裡,都會提到一個特殊行列式,范德蒙(Vandermonde)行列式:
從左邊到右邊可以硬乘開,得到yz^2-y^2z- xz^2 + x^2z + xy^2 - x^2y 後再因式分解。但通常教學上范德蒙行列式,是用來說明行列式運算性質的經典範例——不斷地湊出因式後提出公因式。

多年前我還在高中教書的時候,一直不喜歡行列式這個章節。主要原因是被坊間講義中走火入魔、非常人為的「特殊行列式」化簡求值問題惹怒。范德蒙行列式一度也被我歸類到這些問題中。但靜下心來想想,范德蒙行列式一直留在教材裡,表示它有其重要性。但是它到底重要在哪裡?師生除了知道這個叫作「范德蒙行列式」外還知道什麼?恐怕講得出所以然的人是鳳毛麟角。

范德蒙行列式不是人為的,它是自然產生的。產生的原因是插值(interpolation),也就是說,要找一個多項式的函數圖形通過已知點——這當然是非常根本的重要問題。

好,假設要找一個二次多項式,其圖形通過三個點(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。設此
多項式為y = a + bx + cx2 ,則可從以下的方程組中解出a 、b 、c:
寫成矩陣的形式就是
所以你看,范德蒙行列式自然而然就出現了。由線性代數理論( 或直接由克拉瑪法則
(Cramer's Rule))知道,要解(a, b, c),總是要把Δ算出來,而這個Δ就是范德蒙行列式
的值(x2 - x1)(x3 - x1)(x3 - x2)。所以范德蒙行列式的值是一個基本的行列式值,這也是為什麼它該留在教材中的根本原因。

更進一步看,因為x1、x2、x3 兩兩不會相等(否則就不是函數了),所以這個行列式的值永遠不會等於零。這是非常好的消息,因為線性代數理論(或克拉瑪法則)告訴我們,當Δ≠0時有唯一解,所以這個二次多項式一定找得到!

以這樣的觀點來看范德蒙行列式才是有意思的;僅僅停留在「化簡的方法很漂亮」這一層,是知其然而不知其所以然。從這裡出發再接下去,馬上可以接到拉格朗日(Lagrange)的插值公式,此處因篇幅關係就先略過了。拉格朗日插值公式在新的課綱中有出現,我們拭目以待。

范德蒙在更高階的數學中也有一席之地。比如,若以對稱多項式為係數,它可生成所有的交錯多項式(alternating polynomials);對稱多項式理論中最重要的基底是舒爾(Schur)多項式,也是由兩個范德蒙行列式相除所定義的——這些都已遠遠超過中學範圍了。【更詳細的內容,請參閱第483期科學月刊】

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