2010年3月7日

多項式的插值法

作者/徐正梅(任教建國中學數學科)

「多項式」是由「未定元x」與「實係數ak」經由有限次的加、乘運算而得出的代數式。

p(x)= anx^n + a(n-1)x^(n-1) +…+ a1x + a0

它具有下列特色:
一、求值p(c)簡便,只需用到加、乘(c 為任一實數)。
二、多項式函數y = p(x)是最簡單、最容易的連續函數。
  它常被用來逼近一般的連續函數y = f(x)
  f(x)≒ p(x)(a < x < b)
  因此可借多項式的值p(x0)來估測函數值f(x0
  f(x0)≒ p(x0)(a < x0 < b)
三、多項式的運算與整數的運算非常雷同。如加、乘運算性質、因式倍式的性質、輾轉相除法、除法定理等等。

多項式函數的插值法

在此用簡單的實例來說明插值法。

例題一︰試求一個二次多項式函數p(x),滿足「p(1)= 10 , p(2)= 5 , p(3)= 6」。
即y = p(x)的圖形要能過A(1, 10)、B(2, 5)、C(3, 6)三點。

解一:未定係數法

引用除法定理,可令p(x)= a(x - 1)(x - 2)+(bx + k)(餘式至多一次)
= a(x - 1)(x - 2)+ b(x - 1)+ c

由p(1)= 10 可得c = 10;p(2)= 5 可得b =- 5;p(3)= 6 可得a = 3 。
故︰ p(x)= 3(x -1)(x -2)-5(x -1)+10 ........................ [A]

解二:拉格朗日插值法

此為一種與中國孫子算法同源自餘式定理的著名解法。
在餘式定理中,多項式p(x)除以x - a 之餘式為p(a)。解法如下︰ 
   
(一)先找出「容易求解」的3 個二次函數p1(x)、p2(x)、p3(x)滿足
   p1(x)除以(x - 1, x - 2, x - 3)之餘式為(1, 0, 0);
   p2(x)除以(x - 1, x - 2, x - 3)之餘式為(0, 1, 0);
   p3(x)除以(x - 1, x - 2, x - 3)之餘式為(0, 0, 1)。

【更詳細的內容,請參閱第482期科學月刊】

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