2010年3月7日

拋體軌跡的故事

作者/劉源俊(任教東吳大學物理系)

投一顆石頭、擲一顆砲彈,石頭或砲彈的路徑就是所謂「拋體的軌跡」。

自古人們就熟悉拋體,它是戰爭中不可或缺的利器。拋體的軌跡明顯是條兩端向下凹的曲線,一般而言,曲線的前半段緩升,後半段陡降,前後呈不對稱。

然而,拋體軌跡的原理究竟如何呢?因為其中變數很多,不容易弄清楚。史上第一個將問題釐清的人是伽利略(Galileo Galilei)。他原本是個著名的科學儀器發明家,自1609年發明望遠鏡,並用以觀測天體之後,成為天文學家,開始為哥白尼的日心說辯護。1632年他出版《關於兩種主要世界系統的對話》,受到堅持地心說的教會權威起訴定罪,被軟禁在義大利佛羅倫斯附近的村莊。這時是1633年底,他已年屆七十,不能再談天文學,於是潛心研究物理,終於在1638年出版了《關於兩種新科學的對話與算學證明》。這本書探討彈性力學與運動學,可謂奠定了物理這門現代學問的基礎。

伽利略知道,研究一件事物,需先將系統簡單化(理想化),想像實驗與實驗同樣重要,因此研究拋體之前須先弄清楚落體。什麼樣的落體最簡單呢?就是較重而可忽略空氣阻礙的無礙落體(freely falling body)。伽利略在《對話錄》〈第三天〉的前言中說:「粗淺觀察便可知,重落體的無礙運動是持續加速的,……迄今未有人指出:物體自靜止下落後,每段等時間走過的距離之間,呈從1開始的奇數的比。」換言之,無礙下落是等加速度運動,下落距離與時間平方成正比。

《對話錄》〈第四天〉接續探討拋體。伽利略的高明之處就是將拋體運動視為水平與鉛直兩方向運動的合成。在定理中陳述:設忽略阻礙,則水平方向作等速度運動,鉛直方向作等加速度運動,兩者合成,其軌跡是「適截椎線」(parabola)的一部分。何謂適截椎線?文中清楚說明:用一平面截圓椎的面,當平面與圓椎邊緣線剛好平行(parallel)時,截得的曲線就是適截椎線。

伽利略在文中也清楚指出這一推論的限制:(一)如果考慮到鉛直的方向隨地球面改變的話,「拋體的軌跡必變換為很不同於適截椎線的曲線」。(二)若考慮空氣阻力,則物體的重量、形狀與速度「變化無窮」,拋體的軌跡「不可盡述」。所以,拋體的軌跡是適截椎線的這一描述,只是理想情況,其條件是拋體要「盡量質密而且是球狀,以使介質的阻力減到最小」,而且「空間與速度不能太大」。伽利略進一步說明了各種實況與實驗。【更詳細的內容,請參閱第483期科學月刊】

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