2010年2月9日

海洋生物蘊含的數學訊息

作者/許育彰(任教台灣海洋大學教育研究所)

海洋約占地表面積70%左右,是地球生命誕生和孕育之地。地球上的所有生物,包括陸地上的生物,都起源於海洋。因而,海洋向來就擁有「地球生命搖籃」的稱號。目前,全球已被發現的生物已達1250萬種,而且估計還有1000萬種的生物尚未被發現,牠們大多數存在於未知的沿岸海域或是隱藏在深海水域中,亟待人類持續地探索與發現。另外,若從生物多樣性的觀點來看,海洋生物的多樣性極可能比陸地生物來得更為豐富珍貴。例如,現階段所發現的34個動物門中,海洋就占了33個門,而且其中有15個門的動物只能生活在海洋的環境。相反地,34個動物門中只有13個門可以棲居陸地,而且其中僅有一個「有爪動物門」是只分布在陸地上的。這個懸殊的分布比例顯示,海洋才是保存地球上絕大部分生物多樣性的地方。

海洋豐富且多樣化的生物資源,除了供應人類食物、醫藥、休憩等方面的需求之外,它在數學概念或理論方面的建構也提供了許多珍貴的素材。舉例來說,海洋生物與陸生生物一樣,都常出現「對稱性」(symmetry)的數學概念,許多魚、蝦、蚶、蛤的外形都是線對稱的,而某些放射蟲(radiolaria)和海膽的殼則是點對稱。除此之外,形形色色的海洋生物所展現的幾何圖形也頗為可觀,例如:海膽的輪廓為球形、沙錢及海星的尖端呈正多邊形、鸚鵡螺和其他錐形貝的螺線等等,在在顯示出海洋生物所蘊藏的數學訊息非常豐富多元。本文特別挑選幾種比較具有代表性的海洋生物,進一步說明牠們與數學概念或理論之間的關係。

鳥蛤與圓的漸開線

鳥蛤是棲息在沿岸潮間帶的一種軟體斧足綱動物,牠的外殼呈現左右對稱的「心形」構造,殼中央有尖銳的稜脊及放射肋,如圖一所示。

鳥蛤這種心形的曲線構造,在數學中,恰可用圓的「漸開線」(involute)來加以描述。漸開線的「操作形定義」(即實際動手描繪)是:取一條不會伸縮、長度固定的細繩繞在一個定圓上(繩子一端固定),隨後再逐漸拉開繩子的開放端並呈現拉直的狀態,使拉開的繩子始終能與圓周相切。如此一來,該繩子開放端的端點,隨著繩子被放開,所經過的軌跡便是一條漸開線。鳥蛤外殼的心形曲線,便是由兩條互為「鏡射」(mirroring)的漸開線連結而成。至於漸開線的數學推導則如下所示:

設M(x, y)為圖一圓O漸開線上任一點,BM是圓O的切線,B為切點,取∠AOB = φ(弧度)為參數,則圓O的漸開線之參數方程式是:

x = rcosφ + BMsinφ = r(cosφ + φsinφ)

y = rsinφ - BMcosφ = r(sinφ - φcosφ)

沙錢與五角星形

沙錢是一種無脊椎動物,屬棘皮動物門海膽綱楯形目,直徑約5~10公分長,喜歡生活在潮間帶或潮下帶的沙灘表面,甚至分布至水深3000公尺的海床。由於牠的棲息處多呈圓盤狀,宛如一個銀幣, 因而得名「沙錢」。沙錢的中央部位由五瓣葉狀的圖案所構成,形成一個正五邊形。【更詳細的內容,請參閱第482期科學月刊】

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