2009年12月13日

行星橢圓軌道的古今對話

作者/金升光(任職中央研究院天文及天文物理研究所)

托勒密、哥白尼、克卜勒,三位科學巨人分別提出了劃時代的軌道模型與宇宙觀,相隔不同世代而呼應,若由當代觀點切入,更可看出其豐富內涵。

400年前克卜勒出版《新天文學》(Astronomia Nova)一書,提出了他關於行星運動的第一及第二定律。不少初學者,包括筆者在高中第一次接觸到橢圓的概念時心中難免充滿了問號。圓形不好嗎?橢圓形要怎麼計算?有什麼證明?橢圓的焦點又有什麼特別之處?等到上了大學學習微積分的基本技巧和牛頓力學的基礎知識,才比較能欣賞橢圓軌道的奧妙,回過頭來讚歎克卜勒這劃時代的發現。

但是,橢圓軌道難道真的是克卜勒天外飛來的一筆,使得人類的宇宙觀由哥白尼的圓形軌道進化成橢圓形這麼簡單?先前有不少從科學史、物理或是數學的角度來探討克卜勒橢圓軌道定律的文章;本文則嘗試透過近代天文學知識,並摻雜一些天文學史和天體力學的觀點,從稍微不同的角度來體會行星的橢圓軌道運動(關於克卜勒的生平,可參閱本專欄2月號林文隆教授的文章)。

地球公轉軌道運動的不均勻

在太陽系中,火星軌道的橢圓離心率約0.09,在8大行星中(當年只有6大行星)僅次於水星,然而水星靠近太陽,觀測上不如火星來得容易,故克卜勒在《新天文學》的標題頁說明了此項工作, 是基於第谷(Tycho Brahe) 火星的觀測資料,長年研究其運行軌道的結果。不過,在此且讓我們先來看看公轉軌道離心率更小的地球。

不論是以現代太陽為中心的觀點,或是古代以地球為中心的觀點來看,地球繞太陽(或說太陽繞著地球)的軌道都非常接近正圓形。太陽相對於背景的恆星每天沿著黃道往東方移動約1 度,每365.2422日公轉一圈。依照這樣的運動週期,我們可以訂出每4 年一閏,百年不閏, 400 年再閏的太陽曆。彷彿太陽是以等速率圓周運動繞著地球,這也是最簡單的想法。

或從24節氣來看,其是依照太陽在黃道上移動的角度來訂定的,每個節氣相差15 度, 4 個分至點相隔90 度,如果地球位在太陽等速率圓周運動的中心,這4個分至點相隔的時間都應該要相同。不過,若簡單計算最近5年的節氣就會發覺,從春分到夏至大約間隔92.75~92.76 天、從夏至到秋分大約93.65~93.66 天、秋分到冬至約89.84~89.85天、冬至到春分約88.99天的不等間隔。顯然,要不是地球不在圓心上,就是這運動根本不是等速率圓周運動,或是以上兩種條件同時成立,在兩千多年前古希臘的希帕裘斯時代(Hipparchus,西元前190∼120年)就已經明白了這個道理。

其後,為了保留等速率圓周運動的假設,遂發展出偏心圓和本輪(epicycle)、均輪(deferent)的模型。這個偏心圓可以用一個以地球為中心的大圓(均輪)加上一個沿著大圓均勻運動的小圓(本輪)來取代(圖一);托勒密(Claudius Ptolemaeus)又總其大成並增加了偏心點(equant)的構想,寫下了以地球為宇宙中心的《至大論》〔註一〕。

註一:Almagest或《至大論》是源自托勒密原著的阿拉伯文譯本書名。原著希臘文的標題比較類似《數學論述》(Mathematical Treatise),和書的內容也比較相符。【更詳細的內容,請參閱第480期科學月刊】

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