2009年7月6日

垂心的沉思

作者/游森棚

前些日子和幾個國中生聊天,他們都覺得數學中最難、也最有趣的是幾何問題。他們給我看了幾個題目,都是選擇題。我說,我給你們看一個題目。於是我講了國中時自己發現的一個定理,講完後學生都目瞪口呆。

我讀國中的時候,是高中聯考數學滿分120分的年代。120分的數學裡有4題的計算證明題,每題10分,其中必有一題是平面幾何證明題。這些都是貨真價實的證明題,不會答的話就是答案卷上一片空白。

相較於國中相對無聊的代數(解二次方程式有公式可用,聯立方程有加減消去法可套),平面幾何證明題沒有規則可循,是全然的挑戰。要成功解出平面幾何證明題,要仔細觀察,要有洞察力,還要作出神來一筆的輔助線。年紀輕輕的我,第一次覺得數學如此奇妙。不過就是三角形,幾條線和幾個圓,居然有意外的共線、共點、共圓,或是比例關係。而且,這些是可以一步一步推出來的!我和幾個好友迷上平面幾何,蒐集了參考書中大量試題,互相想要考倒對方。到後來各自拿著圓規直尺塗塗抹抹,想要發現自己的定理。我還真的發現了一個。如圖一,任意畫三個一樣大的圓通過同一點A,這三個圓兩兩交在另外三點B、C、D。則D一定是ΔABC的垂心(三高交點)。

反過來的敘述也對。就是說,若H是ΔABC的垂心,則ΔABC、ΔABH、ΔBCH、ΔCAH 的這四個三角形的外接圓一樣大。不只如此,ΔABH 、ΔBCH 、ΔCAH 的圓心(JC、JA、JB)再做外接圓,得到的還是一樣大的圓!

後來我才知道,這個定理並不是我第一個發現的。它叫做強森定理(Johnson's theorem),早在1916 年就發表了。悵然若失之餘,還是很高興——我發現了一個有名字的定理耶。直到現在我仍然記得那時的興奮——三個等圓隨便亂畫,居然一定交出垂心;三角形的三個頂點和垂心,居然隱藏著一些相等的圓。在這個「數學發現」的經驗上,我得到的收穫,遠超過大量解題的成就感。我一直有蒐集有趣數學題目的習慣,大概就源自於此。

和三角形垂心有關的性質不可勝數,這裡只跟讀者分享兩個我覺得堪稱中學數學裡的經典,一個常見,另一個較不為人知。

第一個是歐拉線。遠在兩百多年前(1763年),歐拉就發現了這個結果:三角形的外心O(三邊垂直平分線交點)、重心G(三條中線交點)、以及垂心H(三高交點)共線,而且OG:GH = 1:2。

第二個是等軸雙曲線。xy=1是最常見的反比關係,在平面幾何上是等軸雙曲線。等軸雙曲線和垂心有一個奇妙的聯繫:任取雙曲線上三點A、B、C,作ΔABC的垂心H,則A、B、C在變動時,H畫出什麼軌跡?答案完全出乎意料之外——垂心H 畫出的軌跡竟然就是原來的等軸雙曲線!這個發現記載在1991年出版的一本書中,但是真正性質的發現應該更早。【更詳細的內容,請參閱第475期科學月刊】

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